Fonction Sinus

f(x) = a sin (b(x-h))+k

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Tracer le graphique

Amplitude = |a| → [La moitié de la hauteur]
Période → P = ^2π⁄_|b|→ ^p⁄₄→[Pour graduer l'axe des "x"]
Point de départ = (h,k) → [Toujours au milieu d'une croissance ou d'une décroissance.]

Quand a et b sont de mêmes signes, la fonction est croissante après le départ.
Quand a et b sont de signes opposés, la fonction est décroissante après le départ.

Donc,

• On identifie le point (h, k).
• On délimite un cycle en formant un rectangle dont la largeur correspond à la période et la hauteur à 2A, où A = |a| est l'amplitude.
• On trace le cycle en tenant compte du signe de a et b.

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Recherche de la règle

f(x) = a sin (b(x-h))+k

Identifier:

• L'amplitude → A = ^{(max f - min f)}⁄₂ = |a|
• La période: p = ^2π⁄_|b|
• L'ordonné moyenne: ^{(max f + min f)}⁄₂ = k
• Comme la fonction sinus est périodique, il existe plusieurs valeurs possibles pour paramètre h

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Étude d'une fonction

• Règle: f(x) = 2 sin 2π(x + 1) + √2
| a = 2 | b = 2π | h = -1 | k = √2 |
( a et b sont de mêmes signes, donc la fonction est croissante après le départ.)


• Période: ^2π⁄_|b| = ^2π⁄₂ = π → ^p⁄₄ = ^π⁄₄


• Fréquence: ¹⁄_P = ¹⁄_π


• Domaine: ℜ


• Codomaine: [√2 - 2, √2 + 2]


• Valeur Initiale: √2
  

  Pour trouver la valeur initiale, on doit remplacer "x" par 0. Donc,

  y = 2 sin 2π(0 + 1) + √2
  y = 2 sin 2π + √2
  y = 2 (0) + √2
  y = √2


• Zéro(s): {x∈ℜ| x = ¼ + 2n, x = ¾ + 2n, n∈Ζ}
  

  Pour trouver les zéros(s), on doit mettre la fonction = 0. Donc,

  0 = 2 sin 2π(x + 1) + √2
  

  On isole sin 2π(x + 1).

  ^-√2⁄₂ = sin 2π(x + 1)
  

  On cherche les équivalences de ^-√2⁄₂ dans le Cercle Trigonométrique, puis on les remplace par les valeurs trouvées. Donc,

^5π⁄₄ = π (x + 1) et ^7π⁄₄ = π (x + 1)


On divise par π de chaque côté.

⁵⁄₄ = (x + 1) et ⁷⁄₄ = (x + 1)

On isole "x".

x = ¼ et x = ¾


• Extremum(s):
  
  Max: √2 + 2 → [ max = "k" + |a| ]
  Min: √2 - 2 → [ min = "k" - |a| ]
  


• Variation:
  
  ↑ sur [ ½ + 2n, ³⁄₂ + 2n ] où n∈Ζ
  ↓ sur [ -½ + 2n, ½ + 2n ] où n∈Ζ


• Signe:
  + sur [¾: + 2n, ⁹⁄₄ + 2n] où n∈Ζ
  - sur [¼: + 2n, ¾: + 2n,] où n∈Ζ


• Réciproque:

  Pour trouver la réciproque, on doit inverser les variables x et y.

  x = 2 sin 2π(y + 1) + √2

  Puis on isole "sin".

  x - √2 = 2 sin 2π(y + 1)
  ^{(x - √2)}⁄₂ = sin 2π(y + 1)

  Puis on fait sin^-1.

  sin^-1(^{(x - √2)}⁄₂) = π(y + 1)

  Finalement, on isole "y".

  ^{sin-1((x - √2)⁄₂)}⁄_π = ^{(π(y + 1)}⁄_π
  
  ¹⁄_πsin^-1(^{(x - √2)}⁄₂) - 1 = y
  

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