Fonction Cosinus

f(x) = a cos (b(x-h))+k

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Tracer le graphique

Amplitude = |a| → [La moitié de la hauteur]
Période → P = ^2π⁄_|b|→ ^p⁄₄→[Pour graduer l'axe des "x"]
Point de départ = (h, k + a) ou (h, k - a) → [Toujours au maximum ou au minimum.]

Si a > 0 → On part d'un maximum.
Si a < 0 → On part d'un minimum.

Donc,

• On identifie le point (h, k + a).
• On délimite un cycle en formant un rectangle dont la largeur correspond à la période et la hauteur à 2A, où A = |a| est l'amplitude.
• On trace le cycle en tenant compte du signe de a.

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Recherche de la règle

f(x) = a cos (b(x-h))+k

Identifier:

• L'amplitude → A = ^{(max f - min f)}⁄₂ = |a|
• La période: p = ^2π⁄_|b|
• L'ordonné moyenne: ^{(max f + min f)}⁄₂ = k
• Comme la fonction sinus est périodique, il existe plusieurs valeurs possibles pour paramètre h

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Étude d'une fonction

• Règle: f(x) = -3 cos (2π(x + 1)) - 2
| a = -3 | b = 2π | h = -1 | k = -2 |
( a est négatif, donc on part d'un min.)


• Période: ^2π⁄_|b| = ^2π⁄_2π = 1 → ^p⁄₄ = ¹⁄₄


• Fréquence: ¹⁄_P = ¹⁄₁ = 1


• Domaine: ℜ


• Codomaine: [-5, 1]


• Valeur Initiale: -5
  

  Pour trouver la valeur initiale, on doit remplacer "x" par 0. Donc,

  y = -3 cos (2π(0 + 1)) - 2
  y = -3 cos (2π(1)) - 2 → cos2π = 1 (Cercle Trigonométrique)
  y = -3 (1) - 2
  y = -5


• Zéro(s): {x∈ℜ| x = -0.63 + n, x = -1.37 + n, n∈Ζ}
  

  Pour trouver les zéros(s), on doit mettre la fonction = 0. Donc,

  0 = -3 cos (2π(x + 1)) - 2
  

  On isole cos (2π(x + 1)).

  ^-2⁄₃ = (2π(x + 1))
  

  Puisqu'il n'y a pas d'équivalences à ^-2⁄₃ dans le Cercle Trigo., on fait le cos^-1 de (^-2⁄₃).

cos^-1(^-2⁄₃) = (2π(x + 1))

On utilise l'équivalence de la fonction cosinus cosθ = cos ( - θ). Donc,

~2.3 = (2π(x + 1)) et ~2.3 = -(2π(x + 1))

Puis on isole le x.

^2.3⁄_-1 = ^{-(2π(x + 1))}⁄_-1
^2.3⁄_2π = ^{(2π(x + 1))}⁄_2π et ^-2.3⁄_2π = ^{(2π(x + 1))}⁄_2π

~0.37 = x + 1 et   ~-0.37 = x + 1

x = -0.63 et   x = -1.37


• Extremum(s):
  
  Max: 1 → [ max = "k" + |a| ]
  Min: -5 → [ min = "k" - |a| ]
  


• Variation:
  
  ↑ sur [ -1 + n, 0.5 + n ] où n∈Ζ
  ↓ sur [ 0.5 + n, 0 + n ] où n∈Ζ


• Signe:
  + sur [ 0.63 + n, -0.37 + n ] où n∈Ζ
  - sur [ -1.37 + n, 0.63 + n ] où n∈Ζ


• Réciproque:

  Pour trouver la réciproque, on doit inverser les variables x et y.

  x = -3 cos (2π(y + 1)) - 2

  Puis on isole "cos".

  x + 2 = -3 cos (2π(y + 1))
  ^{(x + 2)}⁄_-3 = cos (2π(y + 1))

  Puis on fait cos^-1.

  cos^-1(^{(x + 2)}⁄_-3) = 2π(y + 1)

  Finalement, on isole "y".

  ^{cos-1((x + 2)⁄_-3)}⁄_2π = ^{(2π(y + 1)}⁄_2π
  
  ¹⁄_2π^{cos-1(x + 2)}⁄_-3) - 1 = y
  

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